作业帮已知f（x+1）是偶函数,且x≤1时,f（x）=x2+x.求x＞1时,f（x）的解释式?）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 10:16:13
已知f（x+1）是偶函数,且x≤1时,f（x）=x2+x.求x＞1时,f（x）的解释式?）
已知f（x+1）是偶函数,且x≤1时,f（x）=x2+x.求x＞1时,f（x）的解释式?）
已知f（x+1）是偶函数,且x≤1时,f（x）=x2+x.求x＞1时,f（x）的解释式?）
图像法：
f（x+1）是偶函数,表示f(x)向左平移1之后其图像关于Y轴对称
（依据函数平移的左加右减原则）
就是说平移之前,原函数图像是关于直线x=1对称的,
那么x>1部分的图像也是一条抛物线,设为y=ax^2+bx+c.
由题知f(x)定义域是R,而且x=1时,函数有定义,
那么
(1)x1两部分的图像必然在x=1处有公共点（1,2）
(2)x≤1时,f（x）=x^2+x,经过(0,0)
则x>1时,y=ax^2+bx+c 经过(0,0)关于x=1的对称点（2,0）
(3)f（x）=x^2+x与y=ax^2+bx+c的对称轴也关于x=1对称
故y=ax^2+bx+c对称轴为x=5/2
根据以上三条可以确定y=ax^2+bx+c解析式为
y＝x^2-5x+6
即x>1时,f(x)＝x^2-5x+6
这种图像法更容易理解,而且这个解析式也不复杂,考试时用起来很直观方便,如果算错了请各位指正~
代数法：
由f（x+1）是偶函数知
f(-x+1)=f(x+1)
令x=1-x代入到上式两边得
f(x)=f(2-x)……（1）
注意（1）式中,
当左边2-x1
那么就利用“x≤1时,f（x）=x2+x”
将该已知中的x用2-x代换后代入到f（x）=x2+x中,得
f(x)=f(2-x)=(2-x)^2+(2-x)=x^2-5x+6
这时x的范围正是x>1
故联系（1）式有
x>1时
f(x)=x^2-5x+6
楼主可以对比一下两种方法哪种更好理解~祝楼主学习顺利!
当x≤1时，f（x）=x^2+x=(x+0.5)^2-0.25 的顶点为
(-0.5,-0.25)关于直线X=1的对称点为 (2.5,-0.25)
当x＞1时，f（x）=(x-2.5)^2-0.25=x^2-5x+4