函数f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]的最小值是

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 17:00:06

函数f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]的最小值是
函数f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]的最小值是

函数f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]的最小值是
设(sinx)^2=a,(cosx)^2=b,
则a+b=1,a≥0,b≥0.
f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]
=(a+1/(2010a))( b+1/(2010b))
=ab+a/(2010b)+ b/(2010a)+ 1/(2010^2ab)
=ab+(a^2+b^2)/(2010ab) + 1/(2010^2ab)
=ab+((a+b)^2-2ab)/(2010ab) + 1/(2010^2ab)
=ab+(1-2ab)/(2010ab) + 1/(2010^2ab)
=ab+1/(2010ab)-2/2010 + 1/(2010^2ab)
= ab+2011/(2010^2ab)-1/1005
≥2√(ab*2011/(2010^2ab)) -1/1005
=2√2011/2010-1/1005
=(√2011-1)/1005.
ab=2011/(2010^2ab)时取到最小值.

全部展开

首先化简函数，目标是找到统一的可以用来换元的式子，以便于换元后变成一元函数进行分析最终得到f(x)=(sinxcosx)^2+2011/((2010)^2*(sinxcosx)^2)-4020,将中括号的式子化成分式相乘后就能得到这个式子。
第二步：换元，令t=(sinxcosx)^2;那么f(t)=t+2011/(2010^2*t)-4020;我们要求出t的取值范围，这个不难；t=（sinx)^2*(1-(sinx)^2)=(sinx)^2-(sinx)^4=-((sinx)^2-0.5)^2+0.25求这个式子的最大与最小值应该很简单，最终结果是0=第三步：求最小值；对f(t)进行求导得到：df（t）=1-2011/9(2010t)^2),令其为0，得到，t0=sqrt(2011)/2010约等于0.0223；当去其左右值，分别得到的结果是左负右正，说明这是个极小值点，而在t属于[0,0.25]区间里极小值就是它的最小值，所以带入这个值得到最小值为f(x)min=f(t)min=f(t0)= -4.0200e+003

收起

求函数f(x)=cos^2x+sinx-1 判断函数f(x)=根号下1+(sinx)^2+sinx-1/根号下1+(sinx)^2+sinx+1奇偶性设f(x)=2(1+sinx)sinx+(sinx+cosx)(cosx-sinx).化简函数解析式函数f（x）=1/2-sinx的图像函数f(x)=lg(2sinx+1)值域函数f(x)=(2sinx+cos^2x)/(1+sinx)值域求函数f(x)=√1+sinx+√1-sinx+√2+sinx+√2-sinx+√3+sinx+√3-sinx的最大值判断函数奇偶性（1）f（x）=|sinx|-x立方sinx （2）f（x）=lg（1-sinx）/（1+sinx）已知函数f(x)=sinx+5x,如果 f(1-a)+f(1-a^2) 已知函数f(x)=log3 (2-sinx)-log3(2+sinx)(1)判断函数f(x)的奇偶性(2)求函数f(x)的值域设函数f(x)=sinx,则[f（π/2)]' 函数f(x)=(2sinx+1)/(2sinx-1)的值域是函数f(x)=（sinx-1）/√3-2cosx-2sinx(0 f(x)=sinx^2-根号2*sinx+1,求函数值域函数f(x)= sinx--1/ sqrt(3-2cosx-2sinx)的值域是判断这个函数的奇偶性,f(x)=(1+sinx-cosx^2)/(1+sinx)奇偶性函数f(x)=(sinx-2)/(sinx+1)的值域是函数F(X)={1+sinx,(x