求和 x+2x²+3x³+…+nx^n (x≠0)

求和 x+2x²+3x³+…+nx^n (x≠0)
求和 x+2x²+3x³+…+nx^n (x≠0)

求和 x+2x²+3x³+…+nx^n (x≠0)
令Sn=x+2x²+3x³+…+nx^n （1）
则xSn=x²+2x³+…+（n-1）x^n+nx^（n+1） （2）
（1）-（2）
（1-x）Sn=x+x²+x³+…+x^n -nx^（n+1）
=x（1-x^n）/（1-x） -nx^（n+1）
=[x-x^（n+1）-nx^（n+1）*（1-x）]/（1-x）
=[x-x^（n+1）-x^（n+1）*（n-nx）]/（1-x）
=[x-x^（n+1）*（1+n-nx）]/（1-x）
Sn=[x-x^（n+1）*（1+n-nx）]/（1-x）²