N个人参与某个活动做实验,只有其中的A可以成功,组织者每次抽取一个人做实验直到实验成功为止.组织者决定奖励做了实验的人1元（不管有没有成功）,有以下两个方案：1.准备一个娱乐室,让

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 21:39:07

N个人参与某个活动做实验,只有其中的A可以成功,组织者每次抽取一个人做实验直到实验成功为止.组织者决定奖励做了实验的人1元（不管有没有成功）,有以下两个方案：1.准备一个娱乐室,让
N个人参与某个活动做实验,只有其中的A可以成功,组织者每次抽取一个人做实验直到实验成功为止.组织者决定奖励做了实验的人1元（不管有没有成功）,有以下两个方案：
1.准备一个娱乐室,让做了实验但没有成功的人进去,防止他们重复领取奖励,但是组织者要给没个进实验室的人额外1元钱招待.
2.不准备实验室,但是每次抽中A的概率都是1/N
问哪种方案花费较少?

N个人参与某个活动做实验,只有其中的A可以成功,组织者每次抽取一个人做实验直到实验成功为止.组织者决定奖励做了实验的人1元（不管有没有成功）,有以下两个方案：1.准备一个娱乐室,让
一样.
第一种情况.
等于抽签问题,每次概率都是公平的.第k次抽到A的概率都是1/n.
第k次抽到A的花费是2k-1（抽到A只用给他1块钱,不用再给他一块钱去娱乐室）.
总花费的数学期望就是1/n(1+3+5+7+.2n-1)=n
第二种情况.
第k次抽到A的概率就是前k-1次抽不到A第k次抽到A的概率：[(n-1)/n]^(k-1)*(1/n).
第k次抽到A的花费是k.
总花费的数学期望就是：西格玛k*[(n-1)/n]^(k-1)*(1/n) （k从1到无穷大）.
上式是等差数列k和等比数列[(n-1)/n]^(k-1)*(1/n)的乘积.求和公式a1b1/(1-q)-(a1+nd-d)·b1q^n/(1-q) +d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)^2,我就不详细写了.最后答案也是n.

第二种方案花费少。
如果第一次选人时恰好选中A：
两种方案都需付1元，发生这种情况的概率都为1/N，因此数学期望为1/N。
如果第一次选人时，没有选中A，不妨假设在第k次选中A(其中k>1)：
第一种方案的概率为 (N-1)/N·(N-2)/(N-1)·…·1/(N-k+1)=1/N ；
而第二种方案的概率为1/N·1/N·…·1/N=(1/N)^k

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方案一相当于不放回抽样；花费=N+娱乐室
方案二是放回抽样；花费=N
两种方案，实验次数的概率分布函数是相同的，实验次数的均值都为n；
因此方案二花费更少

第一种实验方案最好。
设X为活动开销
1.因为一定是N元，
E(X)=N
D(X)=0
2.共有Y个人做实验。
P{Y=k}=1/N * (1-1/N)^(k-1)
属于几何分布
E(Y)=N,即活动开销也N，
D(Y)=N²-N,
当期望相同时，第二种实验方案方差太大。

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第一种实验方案最好。
设X为活动开销
1.因为一定是N元，
E(X)=N
D(X)=0
2.共有Y个人做实验。
P{Y=k}=1/N * (1-1/N)^(k-1)
属于几何分布
E(Y)=N,即活动开销也N，
D(Y)=N²-N,
当期望相同时，第二种实验方案方差太大。
因此第一种实验方案最好。

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1.准备一个娱乐室，让做了实验但没有成功的人进去，防止他们重复领取奖励，但是组织者要给没个进实验室的人额外1元钱招待。
2.不准备娱乐室，但是每次抽中A的概率都是1/N

方案2花费较少:
1是不管什么时间抽中A都一定是花N元，（做过的奖励1元+没做的1元钱招待）
2每次有1/N的概率，所以有可能是在少于N次的情况下抽中A，花出就小于N元...

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