作业帮双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e=2根号3/3,过a(a.0),b(0,-b)的直线到原点的距离是根号3/2,求双曲线的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 23:28:52
双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e=2根号3/3,过a(a.0),b(0,-b)的直线到原点的距离是根号3/2,求双曲线的方程
双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e=2根号3/3,过a(a.0),b(0,-b)的直线到原点的距离是根号3/2,求双曲线的方程
双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e=2根号3/3,过a(a.0),b(0,-b)的直线到原点的距离是根号3/2,求双曲线的方程
e＝c/a＝√（a^2＋b^2）/a＝2√3/3,∴（a^2＋b^2）/a^2＝4/3,∴1＋b^2/a^2＝4/3,
∴b^2/a^2＝1/3,∴a^2＝3b^2.
∵A（a,0）、B（0,－b）,∴AO⊥BO、且OA＝a、OB＝b、AB＝√（a^2＋b^2）.
在直角三角形中,显然有弦乘弦高＝勾股相乘,∴（√3/2）√（a^2＋b^2）＝ab,
∴（3/4）（a^2＋b^2）＝a^2b^2.将a^2＝3b^2代入其中,得：
（3/4）（3b^2＋b^2）＝3b^4,∴b^2＝1,进而得：a^2＝3.
∴满足条件的双曲线方程是x^2/3－y^2＝1.
（1）双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1 a>0 b>0离心率为 2√3/3
(a^2+b^2)/a^2=( 2√3/3)^2
a^2+b^2=(4/3)a^2
a^2=3b^2
过点A (0.-b）和B (a.0)的直线方程为：x/a+y(-b)=1
bx-ay-ab=0
与原点的距离为√3/2
|-ab|/√(a^2+b^2)...
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（1）双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1 a>0 b>0离心率为 2√3/3
(a^2+b^2)/a^2=( 2√3/3)^2
a^2+b^2=(4/3)a^2
a^2=3b^2
过点A (0.-b）和B (a.0)的直线方程为：x/a+y(-b)=1
bx-ay-ab=0
与原点的距离为√3/2
|-ab|/√(a^2+b^2)=√3/2
a^2b^2=(3/4)(a^2+b^2)
3b^4=(3/4)(3b^2+b^2)
3b^4=3b^2
b^2=1
a^2=3
b=1
a=√3
双曲线：x^2/3-y^2=1
（2）A(0,-1)，B(√3,0)
联立直线：y=kx+m与双曲线：x^2/3-y^2=1
得：(1-3k^2)x^2-6kmx-(3m^2+3)=0
∵直线与双曲线有2个交点
∴1-3k^2≠0
且判别式：(-6km)^2+4(1-3k^2)(3m^2+3)>0
1-3k^2≠0
3k^2-1≠0
k^2≠1/3
(-6km)^2+4(1-3k^2)(3m^2+3)>0
36k^2m^2+12m^2-36k^2m^2+12-36k^2>0
m^2-3k^2+1>0
m^2>3k^2-1 (1)
且C、D都在以A为圆心的圆上
设C,D坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，CD中点E坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）
x1,x2是方程：(1-3k^2)x^2-6kmx-(3m^2+3)=0的2个根
则(x1+x2)/2=3km/(1-3k^2)
(y1+y2)/2=(kx1+m+kx2+m)/2
=k(x1+x2)/2+m
=3k^2m/(1-3k^2)+m
=m/(1-3k^2)
那么AE⊥CD
即直线AE的斜率乘直线CD的斜率为-1
直线AE的斜率为：[(y1+y2)/2-(-1)]/[(x1+x2)/2-0]
=[m/(1-3k^2)+1]/[3km/(1-3k^2)]
=(m+1-3k^2)/3km
直线CD的斜率为k
k(m+1-3k^2)/3km=-1
m+1-3k^2=-3m
4m=3k^-1≠0
m≠0
结合(1)式，得：
m^2>4m
m^2-4m>0
m(m-4)>0
解得：m>4 或 m<0
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