已知函数f（x）=ax²-bx+1,a.b∈R,若f（-2）=-1,求f（2）

已知函数f（x）=ax²-bx+1,a.b∈R,若f（-2）=-1,求f（2）
已知函数f（x）=ax²-bx+1,a.b∈R,若f（-2）=-1,求f（2）

已知函数f（x）=ax²-bx+1,a.b∈R,若f（-2）=-1,求f（2）
【答案】：（1）f(2)=3;
（2）f(2)=5/3;
（3）f(2)=-1
【解析】：这是一个要分类讨论的题目.因为条件里说了,a.b∈R
对二次函数来说,最重要的几个地方不外乎是开口方向、对称轴、以及对称轴处取得的最大或最小值.
但是,这个题目里的函数是否是一个二次函数呢?这首先就很值得注意.
如果它是一个二次函数,那么a不等于0.因此,我们先讨论a的取值情况.
【1】a=0的情况
a如果等于0,那么题目就很简单,原函数就可以化简为f(x)=-bx+1（一次函数）
利用已知条件f(-2)=-1,
可得f(-2)=-b×(-2)+1=2b+1=-1,所以,2b=-2,b=-1.
因此,函数为f(x)=x+1.
所以,f(2)=2+1=3.
【2】a≠0的情况
在a≠0时,f(x)是一个二次函数.
我们代入x=-2,得到a、b之间的一个关系式：4a+2b+1=-1,4a+2b= -2①
然后,还有一个题目中的隐含条件值得注意,当x=0的时候,f(0)=1,
就是说,函数是恒过（0,1）这个点的,这对我们后面的讨论是后帮助的.
但是,这个二次函数的开口方向是不确定的,需要再进一步分类讨论.
（1）a＞0的时候,开口向上.
已知函数过（-2,-1）、（0,1）这两个点.根据二次函数的单调性,我们发现,在-2到0这一段里面,函数是单调递增的,而函数的开口又是向上的,所以,我们可以得到一个条件：对称轴必然是在x=-2这里或x=-2的左侧.
表述成不等式,就是：-b/2a≤-2,根据关系式①,我们把a用b替换掉,得b≥-2b-2,3b≥-2,
所以有b≥-2/3【b的取值范围条件一】；
然后,还是利用对称轴这个条件,二次函数在对称轴处取得最值,现在是开口向上的情况,所以,在对称轴处取得最小值,所以必然有一个条件：f(-b/2a)≤-1
f(-b/2a)=3b^2/4a + 1≤-1,还是根据关系式①把a用b替换掉
得：3b^2/(-2-2b) ≤ -2,
整理得,3b^2-4b-4≥0,根据十字相乘法分解因式得：(b-2)(3b+2)≥0
解这个一元二次不等式,结果是b≤-2/3 或者b≥2【b的取值范围条件二】
联合两个b的取值范围的条件,我们发现,同时满足这两个条件的情况是唯一的,也就是b=-2/3的时候.这样,我们就得到了确切的b的值.
所以,f(2)=4a-2b+1=-2-2b-2b+1= -4b-1= -4×(-2/3)-1=5/3
（2）a＜0的时候,开口向下
同样地,还是重点研究对称轴以及对称轴处的最值情况.
开口向下时,函数在[-2,0]上递增,这就说明,对称轴X=-b/2a≥0,且f(-b/2a)≥1.
根据这两个条件展开,得：b≤0；
3b^2/4a≥0
——因为b^2必然是恒大于等于0的,而我们讨论的前提条件是a＜0,不可能一个正数除以负数还会大于0,所以,此时,b就只能等于0
b=0,f(-2)=4a+1=-1,a=-1/2;
f(2)=4a+1=-1.
【综述】：这是一道考察函数性质的题目,算是中等题.陷阱之一是,可能一开始没有讨论a的取值就把该函数表达式当作了二次函数.其他的都还好,只要对二次函数的性质、不等式的性质有初步了解和运用就好,我写写是花了挺长时间的,但是想通了是很简单的.有不懂的,再追问我吧.就这样,希望对LZ有帮助.