作业帮高数题 证明不等式 建议用单调性(就是建立一个函数它的导数的符号)当x>0时,arctanx + 1/x > ∏/4 (∏是派)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 09:33:27
高数题 证明不等式 建议用单调性(就是建立一个函数它的导数的符号)当x>0时,arctanx + 1/x > ∏/4 (∏是派)
高数题 证明不等式 建议用单调性(就是建立一个函数它的导数的符号)
当x>0时,arctanx + 1/x > ∏/4 (∏是派)
高数题 证明不等式 建议用单调性(就是建立一个函数它的导数的符号)当x>0时,arctanx + 1/x > ∏/4 (∏是派)
lim (arctan(x)+1/x,)=π/2>π/4
x→∞
d/dx (arctanx + 1/x)=1/(1+x^2)-1/x^20）
故而当函数趋于+∞的时候 函数值最小（因为它是单调递减的函数）,
函数的最小值大于π/4
所以函数值大于π/4
先对左边的式子求导，结果为
1/（1+x^2）-1/x^2
因为（1+x^2）〉x^2，所以1/（1+x^2） <1/x^2
所以 1/（1+x^2）-1/x^2是小于0的。
由以上推导可知，上式为单调递减函数。
当x趋于正无穷时，arctanx等于π，而1/x等于0，
所以左边的式子要大于π/4，而x趋于正无穷时是左边式子的最小值（因为它是单调递减...
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先对左边的式子求导，结果为
1/（1+x^2）-1/x^2
因为（1+x^2）〉x^2，所以1/（1+x^2） <1/x^2
所以 1/（1+x^2）-1/x^2是小于0的。
由以上推导可知，上式为单调递减函数。
当x趋于正无穷时，arctanx等于π，而1/x等于0，
所以左边的式子要大于π/4，而x趋于正无穷时是左边式子的最小值（因为它是单调递减的函数），
由此就可以证得上面的不等式了。
收起
令f(x)=arctanx+1/x-u/4 （我用u代表pai)
f'(x)=1/(1+x^2)-1/x^2
通分判别f'(x)的符号，即可得结果。