作业帮用海伦定理证明三角形周长一定时,等边三角形面积最大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 12:51:01
用海伦定理证明三角形周长一定时,等边三角形面积最大
用海伦定理证明三角形周长一定时,等边三角形面积最大
用海伦定理证明三角形周长一定时,等边三角形面积最大
这个用均值不等式即可证明
假设三角形的三边为a、b、c,记p=(a+b+c)/2,根据海伦公式,三角形的面积S=√[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]
在周长一定即p一定的情况下,根据三元均值不等式：xyz
一下用SQRT()表示根号
周长一定，即P为常数
sqrt((p-a)(p-b)(p-c))
<=sqrt((((p-a)+(p-b)+(p-c))/3)^3)
=sqrt((1/3*p)^3) (均值不等式)
所以三角形面积=
sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
<=sqrt(p^4/27)
=sqrt(3)/9*p^2...
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一下用SQRT()表示根号
周长一定，即P为常数
sqrt((p-a)(p-b)(p-c))
<=sqrt((((p-a)+(p-b)+(p-c))/3)^3)
=sqrt((1/3*p)^3) (均值不等式)
所以三角形面积=
sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
<=sqrt(p^4/27)
=sqrt(3)/9*p^2
当且仅当p-a=p-b=p-c
即a=b=c时
不等式取到等号
所以命题得证
收起
用海伦定理证明三角形周长一定时,等边三角形面积最大
周长一定时,什么三角形面积最小?给出证明过程.
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