三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证：[1/(a+b)]+[(1/(b+c)]=3/(a+b+c)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 22:58:13

三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证：[1/(a+b)]+[(1/(b+c)]=3/(a+b+c)
三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证：[1/(a+b)]+[(1/(b+c)]=3/(a+b+c)

三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证：[1/(a+b)]+[(1/(b+c)]=3/(a+b+c)
分析法.原等式(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(b+a)=3.c/(b+a)+a/(b+c)=1c²+bc+a²+ab=b²+bc+ac+ab.a²+c²-b²=ac.(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2.cosB=1/2.B=60º.由题设可知,B=60º.∴原等式成立.

A+B+C=3B=180°
可知A=30°，B=60°,C=90°
根据角度关系：b=√3a，c=2a
带入得证

设公差为d，A，B，C中不等，不妨设AA+B+C=180度，A+B+C=A-d+B=C+d=3B=180度，B=60 A=30 C=90度，
设a=1 b=根号3 c=2
分别代入两边计算就是了

A+C=2B
A+B+C=180度
得B=60度
有(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2
1/(a+b)+(1/(b+c)=3/(a+b+c)
通分再交叉相乘化简可得
a^2+c^2-b^2-ac=0
再变一下即是
(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2
证明完毕

等差数列就是90°，60°，30°。三条边的比例就是2：根号3：1。设为2x，根号3x，x。带进去算就可以了，就能算出相等了。

A+B+C=3B=180° 2B=A+C 由此可得B=60 cosB=1/2=(a^2+c^2-b^2)/2ac 即ac=a^2+c^2-b^2
然后从结论出发：3=1+c/(a+b)+1+a/(b+c) 1=c/(a+b)+a/(b+c） ac=a^2+c^2-b^2 由于推论过程都是等价条件，所以得证

设公差d证式为[1/(2a+d)]+[1/(2a+3d)]=1/(a+d)
假设[1/(2a+d)]+[1/(2a+3d)]≠1/(a+d)
（4a+4d)/[(2a+d)(2a+3d)]≠1/(a+d)
(2a+d)(2a+3d)≠（4a+4d)(a+d)
4aa+8ad+3dd≠4aa+8ad+4dd
d=0求证成立
d≠0求证不成立

个人认为只有B角可知A，C均是不定角。。。所以。。。
(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(b+a)=3
c/(b+a)+a/(b+c)=1
c²+bc+a²+ab=b²+bc+ac+ab
a²+c²-b²=ac
(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2

全部展开

个人认为只有B角可知A，C均是不定角。。。所以。。。
(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(b+a)=3
c/(b+a)+a/(b+c)=1
c²+bc+a²+ab=b²+bc+ac+ab
a²+c²-b²=ac
(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2
cosB=1/2
不过以上是分析解法，规范的解法应该是将以上步骤逆过来.但是我这样写符合正常思维吧

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