作业帮设a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证：a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 11:51:52
设a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证：a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7
设a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证：a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7
设a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证：a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7
阳光从在风雨后,你好：
高中的几个均值不等式,即当 a>0,b>0时, 2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√(a^2+b^2)/2
另外,因为本题并没有a,b,c为正数的条件,不好直接用以上均值不等式,均值不等式的条件是,一正,二定,三相等,此题只有个二定,所以不好直接运用,但此题是个对称式,另外有：
1/（a^2+1）=1/[1-(-a^2)]=1-a^2+a^4-a^6+a^8+----+(-1)^n *a^(2n) 即无穷多项等比数列之和的逆展开,此数列首项为1,公比为-a^2.同理展开1/(b^2+1),1/(c^2+1),三式相加.
得到
1/（a^2+1+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)≤3-(a^2+b^2+c^2)≤3-(a+b+c)^2/3=3-1/3≤2.7,
我的上面的证法是错的,我要再考虑,另外,因为这是个对称形式,也就是轮换不等式.轮换不等式其实就是一种具有对称性质的不等式,在不等式中,变量的“地位”是平等的,这点在求不等式的某些性质的时候是非常有用的.
例如：a^2+b^2+c^2≤3,求a＋b＋c的最大值和最小值,
利用轮换对称思想,我们可以猜想,最值一定是在a＝b＝c的时候取到!于是可以知道：当a＝b＝c＝－1时,有最小值－3,当a＝b＝c＝1时,有最大值3
此题也一样,显然当a=b=c时,才有最大值,此时a=b=c=1/3,代入原式中,得最大值为2.7. 求最值容易,就是相等时有最值,但证明的过程却难,楼上的,平方均值不满足定值啊. 这题起码是至少是国家级数学竞赛的水平.
★★★★★★★★★★正确证法如下：
算了,我先暂时放弃,我会回来的.我就不信了!等我想通了上来修改.