已知y=1/2[(a)^x+(1/a)^x] (a>1)用x表示 y+根号[(y^2)-1]

已知y=1/2[(a)^x+(1/a)^x] (a>1)用x表示 y+根号[(y^2)-1]
已知y=1/2[(a)^x+(1/a)^x] (a>1)用x表示 y+根号[(y^2)-1]

已知y=1/2[(a)^x+(1/a)^x] (a>1)用x表示 y+根号[(y^2)-1]
注：(1/a)^x=a^-x
y=1/2(a^x+a^-x)
2y=a^x+a^-x
两边同乘a^x
2ya^x=a^2x+1
0=a^2x-2ya^x+1
两边同加y^2
y^2=a^2x-2ya^x+1+y^2
y^2-1=a^2x-2ya^x+y^2
y^2-1=(a^x-y)^2
根号(y^2-1)=a^x-y
根号(y^2-1)+y=a^x
所以
y+根号[(y^2)-1]=a^x

(y^2)-1 = {[a^x + (1/a)^x]/2}^2 - 1
= 1/4[a^2x + (1/a)^2x + 2] - 1
= 1/4[a^2x + (1/a)^2x - 2]
= {[a^x - (1/a)^x]/2}^2
根号[(y^2)-1] = |[a^x - (1/a)^x]/2|
因为a ...

全部展开

(y^2)-1 = {[a^x + (1/a)^x]/2}^2 - 1
= 1/4[a^2x + (1/a)^2x + 2] - 1
= 1/4[a^2x + (1/a)^2x - 2]
= {[a^x - (1/a)^x]/2}^2
根号[(y^2)-1] = |[a^x - (1/a)^x]/2|
因为a > 1,
所以：a > 1 > 1/a > 0
x > 0时，
a^x > (1/a)^x
y + 根号[(y^2)-1] = 1/2[(a)^x + (1/a)^x] + 1/2[(a)^x - (1/a)^x]
= a^x
x < 0时，
a^x < (1/a)^x
y + 根号[(y^2)-1] = 1/2[(a)^x + (1/a)^x] + 1/2[-(a)^x + (1/a)^x]
= (1/a)^x

收起