一道复数与函数结合的数学题设P(x) 是一个多项式.且有另一个多项式Q(x) 存在,使得 P(x)Q(x) = P(x*x).P(x) 和Q(x) 的系数为复数.如果 P(x)＝0是一个五次方程,且有五个不同的复数根 r1,...,r5,求|r1|+...+|

一道复数与函数结合的数学题设P(x) 是一个多项式.且有另一个多项式Q(x) 存在,使得 P(x)Q(x) = P(x*x).P(x) 和Q(x) 的系数为复数.如果 P(x)＝0是一个五次方程,且有五个不同的复数根 r1,...,r5,求|r1|+...+|
一道复数与函数结合的数学题
设P(x) 是一个多项式.且有另一个多项式Q(x) 存在,使得 P(x)Q(x) = P(x*x).P(x) 和Q(x) 的系数为复数.如果 P(x)＝0是一个五次方程,且有五个不同的复数根 r1,...,r5,求|r1|+...+|r5|所有可能的值.
{4,5}

一道复数与函数结合的数学题设P(x) 是一个多项式.且有另一个多项式Q(x) 存在,使得 P(x)Q(x) = P(x*x).P(x) 和Q(x) 的系数为复数.如果 P(x)＝0是一个五次方程,且有五个不同的复数根 r1,...,r5,求|r1|+...+|
首先如果P(x)=0
则P(x*x)=0
也就是说|x|=|x^2|
所以|x|=0或1
至多只有一个为0,所以|r1|+...+|r5|=4或5

由p(x)|p(x^2)，且p(x)=0是5次方程，p(x)的根只能是单位根或0,若不然设a是p(x)的根但a不是0也不是单位根则a,a^2,a^4,a^8,a^16,a^32互不相同，且都是p(x)的根，这与p(x)=0是5次方程矛盾。又r1,r2,r3,r4,r5互不相同，则其只能是大于或等与5次的单位根，或4次单位根和0,所以结果只能是4或5....

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由p(x)|p(x^2)，且p(x)=0是5次方程，p(x)的根只能是单位根或0,若不然设a是p(x)的根但a不是0也不是单位根则a,a^2,a^4,a^8,a^16,a^32互不相同，且都是p(x)的根，这与p(x)=0是5次方程矛盾。又r1,r2,r3,r4,r5互不相同，则其只能是大于或等与5次的单位根，或4次单位根和0,所以结果只能是4或5.

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