设n为正整数,且3n+1与5n-1都是平方数.求证⑴7n+13为合数⑵8（17n²+3n）为两个平方数之和

设n为正整数,且3n+1与5n-1都是平方数.求证⑴7n+13为合数⑵8（17n²+3n）为两个平方数之和
设n为正整数,且3n+1与5n-1都是平方数.
求证⑴7n+13为合数⑵8（17n²+3n）为两个平方数之和

设n为正整数,且3n+1与5n-1都是平方数.求证⑴7n+13为合数⑵8（17n²+3n）为两个平方数之和
(1) 一个完全平方数被8除余0,1,4（分别对应4m,奇数,4m+2,m为自然数),既然5n-1是平方数,则n只能为奇数或8m+2,同样由3n+1为平方数排除8m+2(此时3n+1被8除余6),因此n为奇数,7n+13为大于2的偶数,必然为合数.
(2) 记3n+1=a^2,5n-1=b^2 a^2+b^2=8n 4a^2+b^2=17n+3
8(17n^2+3n)=8n(17n+3)
=(a^2+b^2)(4a^2+b^2)=4a^4+5a^2b^2+b^4=(2a^2+b^2)^2+(ab)^2