已知数列{a [n]}满足a[1]=1 a[n]=a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-1)a[n-1](n>=2)求{a [n]}的通项公式[]内的为下标

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 02:54:14
已知数列{a [n]}满足a[1]=1 a[n]=a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-1)a[n-1](n>=2)求{a [n]}的通项公式[]内的为下标

已知数列{a [n]}满足a[1]=1 a[n]=a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-1)a[n-1](n>=2)求{a [n]}的通项公式[]内的为下标
已知数列{a [n]}满足a[1]=1 a[n]=a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-1)a[n-1](n>=2)求{a [n]}的通项公式
[]内的为下标

已知数列{a [n]}满足a[1]=1 a[n]=a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-1)a[n-1](n>=2)求{a [n]}的通项公式[]内的为下标
有a[n] = a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-2)a[n-2]+(n-1)a[n-1],可得:
a[n-1]=a[1]+2a[2]+3a[3]+……+(n-2)a[n-2]
将两式相减得:a[n]-a[n-1]=(n-1)a[n-1],
化简就是:a[n]/a[n-1]=n,
此时要保证(n-1)>=2,即n>=3,
有已知显然有a[2]=1,
所以a[n]=(a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n-2])*……*(a[2]/a[1])*a[1]=n*(n-1)*……*2*1/2=n!/2 (n>=3) (注意这个式子:a[2]/a[1]=1,我们要凑出2)
综上所述:n=1或2时,a[n]=1;n>2时,a[n]=n!/2.