已知函数y=(sinx)平方+sinx+cosx+2,求值域

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 17:49:15
已知函数y=(sinx)平方+sinx+cosx+2,求值域

已知函数y=(sinx)平方+sinx+cosx+2,求值域
已知函数y=(sinx)平方+sinx+cosx+2,求值域

已知函数y=(sinx)平方+sinx+cosx+2,求值域
用^表示次方
y=(sinx)^2+sinx+cosx+(sinx)^2+(cosx)^2+1
y=2(sinx)(cosx)+sinx+cosx+(sinx)^2+(cosx)^2+1
y=(sinx+cosx)^2+sinx+cosx+1
令z=sinx+cosx
y=z^2+z+1
这是一条对称轴为-0.5,开口向上的抛物线
y的最小值为1.75,在z=-0.5出取得
z^2=1+2sinxcosx
z^2=1+sin2x
0=

y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+π/4)+2
=(1/2)sin(2x+π/2)+ √2sin(x+π/4)+5/2;
=(1/2)sin(2θ)+ √2sin(θ)+5/2 其中θ=x+π/4;
对上式两端求导并令导数等于0:
y‘=cos(2θ)+ √2cosθ=0;

全部展开

y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+π/4)+2
=(1/2)sin(2x+π/2)+ √2sin(x+π/4)+5/2;
=(1/2)sin(2θ)+ √2sin(θ)+5/2 其中θ=x+π/4;
对上式两端求导并令导数等于0:
y‘=cos(2θ)+ √2cosθ=0;
即:2cos²θ+ √2cosθ-1=0;
解方程得:cosθ=(√10-√2)/4;(小于-1的根不合理舍去);
sinθ=±√(1-cos²θ)=±[√(1+√5)]/2;
sin(2θ)= sinθ*cosθ=±{[√(1+√5)]/2}*(√10-√2)/4=±[√(2√5-2)]/4;
Max y=(1/2)* [√(2√5-2)]/4+√2*(√10-√2)/4+5/2=[√(2√5-2)]/8+√5/2+2;
Min y=(1/2)* [-√(2√5-2)]/4+ √2*(-√10-√2)/4+5/2=3-[√(2√5-2)]/8-√5/2;
祝楼主学习进步,不懂继续追问

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