作业帮函数f(x)=(log2(x)-1)/(log2(x)+1),若f(x1)+f(2*x2)=1 (其中x1、x2均大于2),则f(x1*x2)的最小值为?不要查我以前的问题好不好……那个答案是错的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:17:11
函数f(x)=(log2(x)-1)/(log2(x)+1),若f(x1)+f(2*x2)=1 (其中x1、x2均大于2),则f(x1*x2)的最小值为?不要查我以前的问题好不好……那个答案是错的
函数f(x)=(log2(x)-1)/(log2(x)+1),若f(x1)+f(2*x2)=1 (其中x1、x2均大于2),则f(x1*x2)的最小值为?
不要查我以前的问题好不好……那个答案是错的
函数f(x)=(log2(x)-1)/(log2(x)+1),若f(x1)+f(2*x2)=1 (其中x1、x2均大于2),则f(x1*x2)的最小值为?不要查我以前的问题好不好……那个答案是错的
函数化为f(x)=1-2/(1+log2(x))
所以1-f(X)=1/(!+log2(x))
1-f(x1)=1/(1+log2(x1)).（1）
又f(x1)+f(2x2)=1
所以1-f(X1)=f(2*x2).（2）
由（1）（2）有：
1/(1+log2(X1))=[1-log2(2x2)]/[1+log2(2x2)]
1+log2(2x2)=log2(x1)*log2(2x2)-log2(X1)+log2(2x2)-1
得log2(X1)*log2(x2)=2.(3)
因为f(x1*x2)=1-2/[1+log2(x1*x2)]
要求f(x1*x2)min,只需求log2(x1*x2)min.
log2(x1*x2)=log2(x1)+log2(x2)
>=2log2(X1)*log2(x2)
(x1>2,x2>2.log2(x1)>1,log2(x2)>1)
得log2(x1*x2)min=2*2=4
所以f(x1*x2)min=0.6
令x = 2^y 2*x = 2^(y + 1) 则f = (y - 1)/(y + 1) f(x1*x2) = f(2^(y1 + y2)) = (y1+y2-1)/(y1+y2+1)
(y1 - 1)/(y1+1) + y2/(y2 + 2) = 1 解得 y1 = 1 + 4/y2
代入f(x1*x2)得到关于y2的表达式，求最小值即可
最后表达式化简...
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令x = 2^y 2*x = 2^(y + 1) 则f = (y - 1)/(y + 1) f(x1*x2) = f(2^(y1 + y2)) = (y1+y2-1)/(y1+y2+1)
(y1 - 1)/(y1+1) + y2/(y2 + 2) = 1 解得 y1 = 1 + 4/y2
代入f(x1*x2)得到关于y2的表达式，求最小值即可
最后表达式化简成1-2*a/((a+1)+3)
2*a/((a+1)^2+3)表达式的最大值点在a=2 最大值为1/3
故所求最小值为1-1/3 = 2/3
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